Equazioni goniometriche: esercizi svolti e commentati

Ehilà Big Genius,

Se sei alle prese con le equazioni con seno, coseno e tangente e ci stai perdendo la testa, voglio subito rassicurarti e dirti che non potevi capitare in posto migliore oggi. 

In questa guida voglio darti una mano a fare finalmente pace con le equazioni goniometriche, quelle che a volte sembrano mostri imbattibili, ma che in realtà nascondono sempre una logica chiara e, se spiegata bene, anche piuttosto semplice. 

Ti guiderò passo dopo passo con degli esercizi svolti e commentati, così potrai non solo vedere il risultato finale, ma anche capire il perché di ogni passaggio. 

Prima di cominciare, però, assicurati che la tua difficoltà non risieda nella singola equazione che ti mette in crisi, quanto nel quadro generale: cioè nel distinguere i diversi tipi di equazioni goniometriche e capire come approcciarle. 

Se pensi che sia questo il tuo caso, ti consiglio di fare un salto al mio articolo dedicato alla classificazione delle equazioni goniometriche: partire da lì ti darà una bussola chiara prima di buttarti negli esercizi.

Se, invece, la classificazione ti è chiara, direi che siamo super pronti a partire!

Equazioni goniometriche: esercizi svolti step by step

Una volta che hai un po’ di ordine mentale, la cosa migliore è buttarsi nella pratica. E qui arriviamo al cuore di questa guida: gli esercizi svolti. Non partiremo dalle cose più banali, ma da quelle che a prima vista potrebbero sembrarti complicate, per poi ridurle sempre a qualcosa di più gestibile.

Il trucco è questo: ogni volta che affronti un’equazione, chiediti “a cosa la posso ricondurre?”. Molto spesso, dietro formule più lunghe e articolate, si nasconde una forma elementare. E quando impari a riconoscerla, beh… diventa tutto più semplice.

Detto questo, direi che possiamo cominciare con gli esercizi svolti sulle equazioni goniometriche. 

Primo esercizio: equazioni goniometriche riconducibili a elementari 

Partiamo con qualcosa che sembra non proprio elementare, ma che si può riportare a quel livello grazie alla formula di addizione del coseno. A proposito, ti consiglio di rivedere per bene tutto il formulario di goniometria targato supermat, fidati: è essenziale per svolgere correttamente le equazioni goniometriche. 

Dunque, cosa abbiamo fatto? 

Partiamo dall’equazione iniziale, che ha a sinistra un coseno di una somma e a destra un’espressione con il seno. L’idea è quella di semplificare, trasformando il coseno della somma in qualcosa di più gestibile. La formula del coseno della somma dice che il coseno di (x + π/4) si può scrivere come coseno di x per coseno di π/4 meno seno di x per seno di π/4. Poiché sia il seno che il coseno di π/4 valgono entrambi √2/2, sostituendo i valori otteniamo un’espressione che contiene soltanto coseno di x e seno di x.

A questo punto, il fattore 2 che stava davanti al coseno si semplifica con il denominatore √2/2, e la parte sinistra si riduce a:

A destra, invece, resta:

Ora notiamo che c’è un termine identico, −√2sin⁡x, sia a sinistra sia a destra. Possiamo quindi eliminarlo da entrambi i lati, e l’equazione diventa molto più semplice: rimane soltanto:

Dividendo tutto per √2, si ottiene l’equazione elementare cos⁡x = 1. A questo punto bisogna chiedersi: in quali angoli il coseno vale 1? Sulla circonferenza goniometrica il coseno rappresenta la coordinata orizzontale, e il valore 1 si trova solo nel punto estremo a destra, che corrisponde all’angolo zero o a qualsiasi giro completo. In altre parole, le soluzioni sono tutti gli angoli della forma x = 0 + 2kπ, con k numero intero.

Esercizio risolto! Se non lo hai trovato particolarmente complesso, direi che possiamo alzare un pochino l’asticella con il secondo esercizio. 

Secondo esercizio: equazioni goniometriche fratte 

Vediamo come te la cavi un’equazione fratta, dove entra in scena anche la tangente. Prima cosa: occhio alle condizioni di esistenza, e poi si parte! 

Cosa abbiamo fatto in questo esercizio? 

Allora, si parte da un’equazione goniometrica fratta, cioè con dei denominatori. La prima cosa da fare è ricordarsi le condizioni di esistenza: non possiamo dividere per zero, quindi bisogna imporre che cos⁡x ≠ 0 e che 1 + sin⁡x ≠ 0. Quindi subito: cos⁡x ≠ 0 ⇒ x ≠ π/2 + kπ e sin⁡x ≠−1 ⇒ x ≠ 3π/2 + 2kπ.

A questo punto, si sostituisce tan⁡x con la sua definizione, cioè sin⁡x/cos⁡x e l’equazione diventa:

Per sommare i due termini a sinistra, si porta tutto sotto un denominatore comune: il denominatore comune è (1 + sin⁡x) cos⁡x. Riscrivendo, il numeratore diventa:

Quindi l’equazione diventa:

A questo punto si osserva che i denominatori sono uguali e non nulli (grazie alle condizioni di esistenza), quindi si possono eliminare. Rimane:

Si sviluppa il prodotto:

Ora cos⁡^2x + sin⁡^2x = 1. Quindi a sinistra rimane 1+sin⁡x che è esattamente uguale al lato destro. In altre parole, l’equazione è un’identità, cioè è sempre vera.

La conclusione è che tutti i numeri reali sono soluzioni, tranne quelli che violano le condizioni di esistenza iniziali.

In forma compatta: x ≠ π/2 + kπ e x ≠ 3π/2 + 2kπ. (Osservazione: il secondo insieme è già contenuto nel primo, quindi spesso si riporta solo x ≠ 2π + kπ). 

Bene, ora andiamo avanti con il terzo ed ultimo esercizio e vediamo come te la cavi. 

Terzo esercizio: equazioni goniometriche con valore assoluto 

Innanzitutto, complimenti per essere arrivato fin qui, non è da tutti restare concentrati fino in fondo, ma la matematica si conquista con costanza, pazienza e dedizione.

Per chiudere in bellezza, alziamo l’asticella di qualche metro e vediamo come risolvere un’equazione riconducibile ad elementare ma con cotangente, radice quadrata e il tanto odiato valore assoluto. Sembra il caos vero? Ma non preoccuparti, come prima ti guiderò io step by step. 

Partiamo dall’equazione 5-√cotx = ±4. Il valore assoluto uguale a 4 si traduce in due casi “senza valore assoluto” ovvero 4 o -4. Prima di risolvere i due casi, si fissano le condizioni di esistenza. La funzione cot⁡x = cos⁡x/sin⁡x esiste solo se sin⁡x ≠ 0 e quindi x ≠ kπ. Inoltre, essendoci la radice √cot⁡x, l’argomento deve essere non negativo: cot⁡x ≥ 0. 

La cotangente è positiva nei quadranti I e III e ha periodo π; perciò, in forma compatta, si può indicare:

(se vuoi includere anche lo zero della cotangente, cioè cot⁡x = 0, useresti “≥ 0” e gli estremi x = π/2 + kπ; in ogni caso quegli estremi non soddisfano l’equazione, quindi non cambiano il risultato finale).

Ora affrontiamo i due casi. Nel primo caso 5−√cot⁡x = 4. Spostando i termini otteniamo √cot⁡x = 1; elevando al quadrato otteniamo cot⁡x = 1. La soluzione generale di cot⁡x = 1 è x = π/4 + kπ perché la cotangente ha periodo π e vale 1 a π/4.

Nel secondo caso 5−√cot⁡x = −4. Portando i termini dall’altro lato otteniamo √cot⁡x = 9; elevando al quadrato segue cot⁡x = 81. Anche qui la soluzione generale è x = arccot⁡(81) + kπ (con arccot⁡(81) un angolo molto piccolo positivo nel primo quadrante), sempre perché la cotangente è π-periodica.

Alla fine le soluzioni dell’equazione, tenendo presenti le condizioni di esistenza x ≠ kπ e cot⁡x ≥ 0, sono l’unione dei due insiemi trovati:

Questi angoli rispettano automaticamente la richiesta cot⁡x ≥ 0 perché corrispondono a valori positivi della cotangente.

Gli esercizi svolti in questa guida sono solo un piccolo antipasto. Le equazioni goniometriche (e le disequazioni, che incontrerai subito dopo) ti accompagneranno a lungo nel tuo cammino nel mondo della matematica, ed è per questo che ho deciso di dedicare un modulo intero del mio videocorso di goniometria e trigonometria proprio a loro.

Si tratta di oltre 8 ore di video-lezioni, in cui troverai teoria spiegata in modo semplice e tantissimi esercizi guidati come quelli che hai visto qui. 

Bene Big Genius, per oggi è tutto. Ci vediamo a bordo della Supermat Academy e, come sempre, non mollare!