Ehilà Big Genius,
Ne sono consapevole, probabilmente sei appena uscito dal mondo delle equazioni goniometriche, e magari ti senti ancora un po’ frastornato. Ma indovina? È già tempo di ripartire per una nuova avventura: le disequazioni goniometriche!
Ma non preoccuparti perché ho ben due buone notizie per te.
La prima buona notizia è che, se hai capito le equazioni goniometriche e hai iniziato a prenderci dimestichezza, siamo già a buon punto. Infatti la logica di base rimane la stessa: si parte dalle elementari, passando a quelle riconducibili a elementari, fino alle forme più strutturate.
La seconda buona notizia è che, come sempre, il tuo supereroe scientifico preferito non ti lascia solo nemmeno questa volta. Oggi, infatti, vedremo tre esercizi svolti e commentati step by step sulle disequazioni goniometriche elementari in seno, coseno e tangente.
Pronto per cominciare? Allora let’s go!
Disequazioni goniometriche elementari: esercizi svolti step by step
Prima di partire con gli esercizi, fermiamoci un attimo. Le disequazioni goniometriche elementari sono quelle in cui compaiono direttamente seno, coseno o tangente senza trasformazioni troppo complicate. La loro difficoltà non sta tanto nei calcoli, quanto nella capacità di:
- ricordare gli intervalli di definizione e i valori caratteristici delle funzioni goniometriche;
- leggere e interpretare correttamente il grafico di ciascuna funzione;
- scrivere la soluzione generale, tenendo conto della periodicità (2π per seno e coseno, π per tangente).
Chiarito tutto questo, direi che siamo pronti per vedere come te la cavi con il primo esercizio
Esercizio 1: Disequazioni goniometriche elementari in seno
Partiamo da un esercizio sulle disequazioni goniometriche in seno, una della più semplici ma anche quella che più genera confusione tra gli studenti.
Prima di procedere con l’esercizio, dato che ne vedremo altri di questo tipo, è bene tenere a mente che funzione seno può restituirci solo ed esclusivamente valori compresi fra -1 e 1 (estremi inclusi).
Guardiamo la prima disequazione in seno: sin(x) ≤ −5/2
Qui il problema è subito evidente: −5/2 = −2,5, ma il seno non può mai scendere sotto il valore -1 come dicevamo in precedenza.
Dunque, sin(x) ≥ −5/2 è sempre vera per ogni valore reale di x e la prima disequazione non ha un insieme limitato di soluzioni, ma è sempre verificata ∀𝑥∈𝑅.
Ora andiamo alla seconda disequazione in seno: sin(x) ≥ 9/8
Ma 9/8 = 1,125, che è maggiore di 1 e, come sappiamo, il seno non può mai superare questo valore. Quindi, anche in questo caso, sin(x) ≥ 9/8 è sempre vera per ogni valore reale di x e anche la seconda disequazione non ha un insieme limitato di soluzioni, ma è sempre verificata ∀𝑥∈𝑅.
Per chiarire bene il concetto, in basso ho riportato i casi limite di come si comporta il seno.
Tutto chiaro? Allora passiamo al prossimo esercizio.
Esercizio 2: Disequazioni goniometriche elementari in coseno
Passiamo ora al coseno. Anche qui i valori possibili sono compresi tra -1 e 1, quindi la logica è molto simile a quella vista con il seno.
A sinistra abbiamo cos(x) ≤ −5/2. Ora, −5/2 = −2,5 che fuori dall’intervallo -1 e 1, quindi questa disequazione è impossibile: non esiste nessun x∈R che la soddisfi (insieme delle soluzioni vuoto).
Cos(x )≥ −5/2, però, è sempre verificata ∀𝑥∈𝑅.
Allo stesso modo, anche cos(x) > 9/8 è fuori dall’intervallo -1 e 1, perché è uguale a 1,125, ed è impossibile. Invece cos(x) ≤ 9/8 è sempre vero perché il coseno è sempre minore o uguale di 1.
Anche qui, come nel precedente esercizio, in basso puoi vedere i casi limite di come si comporta il coseno.
Esercizio 3: Disequazioni goniometriche elementari in tangente
Chiudiamo con la tangente. Qui il discorso cambia un po’, perché la funzione tangente può assumere tutti i valori reali.
Questo significa che, a differenza di seno e coseno, non avremo mai il problema di dire “non ci sono soluzioni”. La tangente sarà sempre definita (tranne nei punti di discontinuità, cioè π/2 + kπ).
In questo caso abbiamo risolto l’esercizio della disequazione elementare in tangente 3 tan(x) + √3 < 0 isolando la tangente, ovvero portando √3 a destra e dividendola per 3.
Successivamente abbiamo individuato gli angoli in cui l’uguaglianza tan(x) = -√3/3 vale esattamente.
Siccome tan π/6 = √3/3, il valore negativo -√3/3 si ottiene nei quadranti II e IV. Gli angoli notevoli corrispondenti sono x = −π/6 + kπ e x = 5π/6 + kπ.
Sulla circonferenza goniometrica si traccia la retta passante per l’origine con pendenza -√3/3, ovvero la diagonale rossa, I due punti in cui questa retta taglia la circonferenza corrispondono proprio agli angoli − π/6 e 5π/6.
Poiché tan(x) è crescente su ciascun ramo (−π/2 + kπ, π/2 + kπ) per ottenere un valore minore di -√3/3 bisogna prendere, in ogni periodo, le x che stanno tra l’asintoto e il primo punto di uguaglianza successivo.
Per questo la soluzione è π/2 + kπ < x < 5π/6 + kπ.
Bene Big Genius, adesso che hai visto questi tre esempi di disequazioni goniometriche elementari, è il momento di spingere il livello un po’ più in alto.
Come? Con l’aiuto di Supermat e della Supermat Academy.
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Per oggi direi che ci siamo detti tutto. Ci vediamo a bordo dell’Academy, a prestissimo!