Area di un triangolo qualsiasi in trigonometria

Ehilà Big Genius,

Oggi parliamo un po’ dell’area di un triangolo. 

Certo, è chiaro che tutti noi (o per lo meno si spera) sappiamo calcolarla partendo dalla sua base e dalla relativa altezza… più o meno dalle scuole elementari, dico bene? 

Ecco però che in questa lezione non ci fermeremo su questa formula “classica”, ma su qualcosa di leggermente differente: un metodo che consente di trovare l’area di qualunque triangolo conoscendo due lati e l’angolo compreso tra questi. 

Esatto, stiamo parlando del Teorema dell’area di un triangolo in trigonometria.

Come forse già saprai, la trigonometria ha come obiettivo lo studio dei rapporti tra angoli e lati di un triangolo e si basa sulla goniometria, che studia la misura degli angoli e le relazioni tra di essi. 

Il teorema di cui parleremo oggi è uno dei concetti cardine che entrano in gioco quando si affronta lo studio di questa materia, subito dopo i primi due teoremi dei triangoli rettangoli in trigonometria. 

Non preoccuparti, non si tratta di nulla di trascendentale o eccessivamente complicato e sono sicuro che, alla fine di questa lettura, avrai capito alla perfezione come si calcola l’area di un triangolo in trigonometria e perché proprio nel modo che vedremo.

Pronto? Allora cominciamo!

Teorema dell’area di un triangolo: enunciato e formule 

Ok Big Genius, veniamo al punto e niente giri di parole. Ecco l’enunciato del teorema dell’area di un triangolo qualsiasi in trigonometria:

“La misura dell’area di un triangolo è uguale al semiprodotto delle misure di due lati consecutivi e del seno dell’angolo fra essi compreso.”

Si, lo so, qualche volta i matematici tendono a farla complicata.

Ma niente paura: “semiprodotto” significa solo che, dopo aver moltiplicato due lati consecutivi (cioè quelli che hanno in comune un estremo, ovvero un vertice), dividi subito il risultato per due e poi moltiplichi per il seno dell’angolo compreso. 

Ecco, forse così risulta decisamente più chiaro, dico bene? 

Prima di addentrarci un po’ di più in questo teorema ricordiamo come è fatto un triangolo. Si, lo so che tutti sappiamo la sua forma, ma è molto importante notare la distribuzione degli angoli rispetto ai lati. 

Come puoi notare: 

• L’angolo α è opposto al lato a
• L’angolo β è opposto al lato b
• L’angolo γ è opposto al lato c

Cerca di ricordare questa nomenclatura che porteremo avanti durante tutto lo studio della trigonometria, perché così facendo eviterai di fare confusione con le formule e ricorderai molto meglio i concetti della trigonometria. 

Ecco, parlando di formule…

Vediamo quali sono quelle che ci permettono il calcolo dell’area di un triangolo in trigonometria: 

Queste formule sono la trascrizione matematica dell’enunciato del nostro teorema di oggi. 

Ma come siamo arrivati a queste formule? Vediamolo insieme, ma prima…

Se ti è piaciuta questa spiegazione e credi di aver bisogno di un aiuto con la goniometria e la trigonometria, il tuo supereroe preferito (me medesimo) ha creato appositamente per te la Supermat Academy.

Ricorda: la matematica non è difficile, basta solo spiegarla nel modo giusto.

Bene, ora direi che possiamo andiamo avanti… 

Dimostrazione del teorema dell’area di un triangolo

Eccoci qui, alla parte un pochino più complessa: la dimostrazione del teoremadell’area di un triangolo.

Diciamo subito che questa dimostrazione si divide a sua volta in tre piccole dimostrazioni, perché abbiamo tre modi in cui si può presentare il nostro angolo (quello appunto compreso tra i due lati del triangolo): 

• Angolo Retto, cioè di 90°(di gran lunga la più semplice e a breve capirai il perché). 
• Angolo Acuto, cioè maggiore di 90°.
• Angolo Ottuso, compreso tra 90° e 180°.

Ovviamente, non ti annoierò con formule matematiche poco comprensibili buttate su un foglio bianco. Come sempre, ti invito a dare un’occhiata alla videolezione qui in basso, dove ti mostrerò nella pratica come si dimostra il teorema dell’area del triangolo in tutti e tre i casi che hai visto sopra, step by step. 

Niente pappardella a memoria! Capiamo davvero come stanno le cose, così per te sarà molto più semplice relazionarti con la trigonometria sia in questo preciso momento che in futuro. 

Puoi trovare altre videolezioni come questa su argomenti di trigonometria nel Modulo 4 del mio video corso di goniometria e trigonometria nella Supermat Academy. 

Aspetta un momento, non sai che cos’è la Supermat Academy?

Si tratta del per-CORSO targato Supermat pensato apposta per aiutarti a capire davvero la matematica con il giusto metodo. Al suo interno trovi spiegazioni semplici e dirette, proprio come se fossimo alla lavagna insieme, con un linguaggio chiaro, schemi visivi e soprattutto tanti esercizi pratici su goniometria e trigonometria.

Potrai approfondire approfondire tutto quello che abbiamo visto oggi e molto di più: i teoremi fondamentali, le formule, le applicazioni e naturalmente il teorema dell’area di un triangolo qualsiasi, con esempi dettagliati ed esercizi che ti aiuteranno a fissare bene i concetti.

Se vuoi finalmente capire la trigonometria e la goniometria senza più dubbi, il posto giusto è proprio la SuperMat Academy.

Bene Big Genius, direi che anche oggi dall’universo Supermat è tutto, ci si becca all’Academy. 

A prestissimo!