Ehilà Big Genius!
Se c’è un momento in cui tutto ha inizio nel mondo della goniometria e della trigonometria, è quando definiamo la circonferenza goniometrica nel piano cartesiano.
E sai per quale motivo? Beh, la risposta è semplice: questa circonferenza, con raggio unitario e centro nell’origine degli assi cartesiani, è la costruzione geometrica da cui derivano le due funzioni goniometriche più importanti, ovvero il seno (sin o, meno comunemente, sen) e il coseno (cos).
Queste funzioni circolari cambiano radicalmente il nostro modo di ragionare portando la nostra prospettiva da lineare ad angolare.
Ma cosa sono e a cosa servono seno e coseno di un angolo? E perché sono così importanti? Scopriamolo insieme.
Cos’è il seno e il coseno di un angolo: definizione e proprietà
Per capire di cosa parliamo quando ci riferiamo a seno e coseno di un angolo, partiamo dalle definizioni.
Immagina di avere un punto P(xₚ, yₚ) che si trova sulla circonferenza goniometrica di cui abbiamo parlato prima. Le coordinate di questo punto sono proprio i valori di coseno e seno:
- Il coseno (cos): è l’ascissa del punto P (cioè la sua posizione sull’asse x).
- Il seno (sin): è l’ordinata del punto P (cioè la sua posizione sull’asse y).
Attenzione: anche se diciamo sempre “seno e coseno”, in realtà il coseno si riferisce all’asse x e il seno a quello delle y, come ti mostro nell’immagine qui sotto.
Quindi, cerca di non confonderti!
In questa immagine puoi vedere anche che le funzioni seno e coseno prendono in input un angolo orientato, che può quindi essere un qualsiasi numero reale (positivo o negativo) espresso in gradi o in radianti. Questo angolo individua un punto sulla circonferenza, e seno e coseno restituiscono le coordinate di quel punto.
I valori di seno e coseno variano sempre tra -1 e 1. Perché?
Semplice: il raggio della circonferenza è unitario, quindi le coordinate non possono mai essere più grandi o più piccole di questi estremi.
Dunque, il dominio di seno e coseno può comprendere l’intero campo nei numeri reali, mentre il codominio può essere compreso tra -1 e 1 (con estremi inclusi).
Una delle proprietà più interessanti di seno e coseno è la periodicità: ogni volta che fai un giro completo della circonferenza (pari a 2π radianti o 360 gradi), i valori di seno e coseno si ripetono. Questo significa che le funzioni seno e coseno hanno un comportamento ciclico: qualunque sia l’angolo, tornerai sempre agli stessi valori dopo un giro.
Tuttavia, Il coseno è una funzione pari, il che significa che il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse y.
In pratica, cos(-x) = cos(x).
Il seno, invece, è una funzione dispari. Il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine.
Questo si traduce in sin(-x) = -sin(x).
Per aiutarti puoi visualizzarle come delle onde (sinusoide e cosinusoide) che si ripetono, ma con proprietà di simmetria differenti.
Definizione geometrica di seno e coseno
Seno e coseno possono anche avere una definizione geometrica, che estende il loro campo di applicazione anche fuori dalla circonferenza goniometrica.
In un generico triangolo rettangolo, infatti:
- Il coseno: è il rapporto tra il cateto adiacente all’angolo e l’ipotenusa;
- Il seno: è il rapporto tra il cateto opposto all’angolo e l’ipotenusa.
Questo appena descritto è il primo teorema fondamentale dei triangoli rettangoli in trigonometria.
Se vuoi approfondire le funzioni seno e coseno ti consiglio di dare uno sguardo al video qui in basso dove te ne parlo in modo più approfondito.
Seno e coseno di un angolo: come studiarli bene
Quando si parla di seno, coseno e funzioni goniometriche, avere una buona preparazione di geometria euclidea e geometria cartesiana è il primo passo per fare sul serio.
Questo perché, come detto in precedenza, qui si inizia a ragionare in modo circolare e non più lineare. È una prospettiva diversa, che ti apre un mondo di possibilità… a patto di avere gli strumenti giusti per affrontarle.
E che supereroe scientifico preferito sarei se non te li fornissi proprio io, questi strumenti?
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Ci vediamo all’Academy, a presto!