Tangente e cotangente di un angolo: definizione e formule

Ehilà Big Genius!

Dopo aver esplorato seno e coseno di un angolo, oggi ci concentriamo sulla coppia tangente e cotangente. 

Hai capito bene, ho detto coppia, perché nello studio della goniometria e trigonometria le funzioni goniometriche vengono analizzate a due a due, in virtù delle loro caratteristiche complementari.

Magari hai già visto queste due funzioni goniometriche indicate come “tg” e “cotg” su vecchi manuali, ma sappi che oggi le abbreviazioni internazionali riconosciute in ambito scientifico sono “tan” e “cot“. 

Una curiosità? Nella tua calcolatrice scientifica trovi il tasto “tan” ma non “cot”, e ti dirò di più: avremmo potuto fare a meno anche del tasto “tan”. Questo perché tangente e cotangente si possono calcolare facilmente utilizzando seno e coseno. 

Ma non voglio anticiparti troppo: partiamo dalle basi e scopriamo insieme cosa sono tangente e cotangente e come puoi padroneggiarle al meglio.

Tangente e cotangente di un angolo: definizione e caratteristiche

Per definire tecnicamente la tangente di un angolo, torniamo alla nostra circonferenza goniometrica. 

Immagina di prendere un angolo al suo interno e di osservare le rette tangenti verticali: è proprio lì, nel punto in cui l’angolo incontra la tangente, che possiamo definire la lunghezza dei segmenti di tangenza verticali in funzione dell’angolo, ovvero, la tangente. 

Per renderti il discorso più chiaro dai un’occhiata all’immagine qui in basso. 

Solitamente si lavora con la tangente verticale posta a destra, quella che cade nel primo e quarto quadrante. La lunghezza di questo segmento di tangenza dipende dall’angolo, e qui emergono subito alcune caratteristiche peculiari di questa funzione.

• La tangente assume valori positivi quando l’angolo si trova nel primo quadrante, ossia tra 0° e 90°, e negativi nel quarto quadrante, cioè tra 90° e 180°. 
• Dopo i 180°, la funzione inizia a ripetersi identica a sé stessa, perché la tangente è periodica con un periodo di 180° (o π radianti). Questo periodo dimezzato rispetto a quello di seno e coseno è una delle sue particolarità.

Tuttavia, c’è un aspetto ancora più interessante da considerare: quando l’angolo si avvicina a 90°, la lunghezza del segmento di tangente cresce sempre di più, tendendo all’infinito. 

Per questo motivo, il dominio della funzione tangente comprende tutti i numeri reali, tranne i valori di 90° e 270°. Ci tengo a specificare che tali valori periodici si ripetono per ogni giro della circonferenza goniometrica e, in generale, possiamo scrivere il tutto come x ≠ π/2 + kπ. Al contrario, il codominio include tutti i numeri reali senza eccezioni. 

Per quanto riguarda la cotangente, invece, questa si definisce tramite le tangenti orizzontali della circonferenza goniometrica. Concentrandoti su quella posta in alto, che attraversa il primo e il secondo quadrante, puoi determinare la lunghezza del segmento orizzontale in funzione dell’angolo. 

L’immagine che ti riporto in basso ti spiega meglio la sua definizione a livello grafico. 

Come per la tangente, anche la cotangente segue un andamento periodico con un periodo di 180° (o π radianti) e mantiene gli stessi segni della tangente: positiva nel primo quadrante e negativa nel secondo.

Ma ecco un’altra peculiarità: la cotangente presenta problemi di definizione non a 90°, bensì a 0°, poiché il segmento orizzontale qui tende all’infinito. 

Di conseguenza, il dominio della cotangente esclude 0° e 180° (e punti equivalenti), ma include tutti gli altri valori reali. Come per la tangente, i valori periodici si ripetono per ogni giro della circonferenza goniometrica, pertanto possiamo scrivere il tutto come x ≠ 0 + kπ.

Anche per la cotangente, infine, il codominio è invece l’insieme di tutti i numeri reali, esattamente come per la tangente. Ora mi rendo conto che i concetti sembrano molto confusionari. Però, credimi, è più facile a farsi che a dirsi!

Per aiutarti a comprendere più facilmente tangente e cotangente, quindi, preparato un bel video che ti spiega queste funzioni goniometriche nel dettaglio. Dai uno sguardo qui in basso! 

Relazione tra tangente, cotangente, seno e coseno

Le similitudini tra tangente e cotangente la rendono una coppia strettamente legata, entrambe infatti si possono esprimere in funzione di seno e coseno, grazie alle proporzioni che derivano dalla circonferenza goniometrica e dai triangoli simili.

La tangente di un angolo è il rapporto tra seno e coseno dello stesso angolo, mentre la cotangente è il rapporto inverso.

Questo significa che tangente e cotangente sono funzioni reciproche. Te ne parlo in modo specifico nella video lezione che ti ho linkato al paragrafo precedente. 

Come prepararsi allo studio di tangente e cotangente

Se vuoi davvero padroneggiare tangente e cotangente, ti consiglio di iniziare dalla base: la comprensione della circonferenza goniometrica e l’allenamento del pensiero “circolare”. 

Inoltre, ricordati di studiare tangente e cotangente a coppia, esattamente come per quanto riguarda seno e coseno. Infine, ricorda che prima di addentrarti in tangente e cotangente dovrai aver ben chiaro le funzioni seno e coseno. 

Solo in questo modo potrai avere una preparazione in goniometria e trigonometria priva di lacune. 

Tuttavia, se pensi di avere delle lacune o proprio alcuni concetti non ti entrano in testa (e, credimi, potrebbe non essere colpa tua!), Supermat è qui per darti una mano. Proprio a questo scopo nasce la Supermat Academy, il quartier generale per imparare tutto sulla goniometria e trigonometria. 

Tramite videolezioni semplici e chiare potrai mettere subito in pratica ciò che apprendi, cosicché non dovrai più temere le funzioni goniometriche. Parlando nello specifico di tangente e cotangente, sappi che nel Modulo 1 del corso di goniometria è presente proprio un approfondimento completo su questo argomento, spiegato in modo semplice e intuitivo.

Bene, per oggi è tutto Big Genius.

Per mantenerti sempre aggiornato sul mondo della trigonometria, goniometria e, più in generale, su quello della matematica e della fisica, puoi seguirmi sui miei canali social di Facebook, Instagram, TikTok e Youtube, dove condivido costantemente consigli e risorse utili per lo studio di queste affascinanti discipline scientifiche. 

Nel frattempo… ti aspetto nell’Academy! 

A presto!