Ehilà Big Genius!
Ci siamo, siamo giunti all’ultima coppia di funzioni goniometriche, quelle che chiudono il cerchio esattamente dove lo avevamo aperto con seno e coseno. Oggi parliamo di secante (sec) e cosecante (csc).
La prima cosa che voglio dirti in merito a queste due funzioni è di fare attenzione alla nomenclatura. Spesso, infatti, gli studenti tendono a fare un po’ di confusione perché il termine sec può far pensare al seno, mentre csc (complice la “c” iniziale) richiama alla mente il coseno.
Ma non lasciarti ingannare! La questione, infatti, è praticamente opposta: secante è il reciproco del coseno, mentre la cosecante è il reciproco del seno.
Ad ogni modo, queste due funzioni vengono spesso trascurate o comunque sono poco trattate nei libri di testo e nelle lezioni in quanto meno utilizzate (complice anche il poco tempo a disposizione per “finire il programma” entro l’anno).
Per questo motivo, ho deciso di ribattezzarle le “funzioni goniometriche dimenticate”.
Tuttavia, è bene ricordarci della loro esistenza perché possono tornarci molto utili nello studio della goniometria e trigonometria.
Dunque, vediamo di dare loro il giusto spazio e scopriamo insieme tutto ciò che c’è da sapere sulle funzioni secante e cosecante di un angolo.
Secante e cosecante: definizione geometrica
Come per le altre funzioni goniometriche, anche per comprendere secante e cosecante bisogna partire dalla nostra amata circonferenza goniometrica che, ti ricordo, viene definita come una circonferenza con raggio unitario e centro nell’origine degli assi cartesiani.
Come abbiamo già visto con tangente e cotangente, anche in questo caso si tratta di prendere in considerazione una retta tangente alla circonferenza. Al contrario delle due funzioni goniometriche precedenti, però, la retta tangente non è né orizzontale, né verticale.
Prendiamo in considerazione, invece, una generica retta tangente alla circonferenza in un punto, che chiameremo punto P, ovvero il punto in cui il nostro angolo incontra proprio la circonferenza goniometrica.
Questa retta, come puoi vedere dall’immagine qui in basso, va a incontrare e “tagliare” gli assi x e y in due punti ben precisi, che chiameremo R in riferimento alle ascisse ed S per le ordinate.
Dunque, si verranno a creare due segmenti che partono dall’origine e finiscono sull’asse delle x e delle y, in corrispondenza del punto in cui la retta tangente li incontra.
Il segmento che parte dall’origine (O) e prosegue lungo le ascisse (x) lo chiameremo OR e sarà la secante del nostro angolo. Mentre il segmento che parte dall’origine (O) e prosegue lungo le ordinate (y) lo chiameremo OS e sarà la nostra cosecante.
Attraverso una serie di considerazioni sui triangoli rettangoli simili, possiamo definire secante e cosecante come il reciproco di seno e coseno. Dunque:
- sec(α) = 1/cos(α)
- csc(α) = 1/sin(α)
Infine, osservando la costruzione geometrica, possiamo trarre importanti informazioni:
- La secante non esiste a 90° e 270°, perché in questi punti la tangente alla circonferenza è parallela all’asse delle x e non lo incontra mai. Abbiamo, dunque, appena definito il dominio della secante.
- La cosecante, in modo analogo alla secante, non è definita a 180° e 360°, in quanto in questi punti la tangente alla circonferenza è parallela all’asse delle y e non lo incontra mai.
Se volessimo, invece, definire il codominio di queste due funzioni, ci basterà una semplice osservazione: i punti R e S cadono sempre fuori dalla circonferenza goniometrica. Quindi, i segmenti OR e OS sono sempre inferiori o uguali a -1 o maggiori o uguali a 1.
Preferisci le spiegazioni più “visive”? No problem, qui in basso ti lascio un video su secante e cosecante che ho realizzato proprio a questo scopo.
Che ne dici… definite in questi termini, la loro comprensione risulta più semplice e meno astratta, vero?
Vediamo adesso come studiare secante e cosecante nel modo migliore.
Secante e cosecante: come studiarle
Per studiare nel modo giusto secante e cosecante valgono i consigli che già ti ho fornito per lo studio delle altre funzioni goniometriche.
Facciamo, però, un breve ripasso e introduciamo una piccola nuova regola:
- Vanno studiate per ultime: non è un caso che abbiamo parlato prima di seno e coseno, poi di tangente e cotangente e, infine, di secante e cosecante. Studiarle in quest’ordine ti permetterà, infatti, di comprenderle per bene.
Consiglio: se, ad esempio, ti trovi ad affrontare secante e cosecante ma non hai ben chiaro seno e coseno, torna indietro nel tuo studio e cerca di comprendere bene la coppia precedente. Non lasciare lacune lungo la tua strada!
- È importante studiarle a coppie: non è un caso se parliamo di secante e cosecante, così come di seno e coseno: il motivo è che vanno studiate insieme! In questo modo potrai comprenderle meglio, evitando confusione tra le diverse coppie.
- Impara a pensare in modo circolare: puoi farlo esercitandoti sulla circonferenza goniometrica tracciando secante e cosecante di diversi angoli. Mai sottovalutare il potere della memoria grafica!
- Colma le tue lacune in geometria euclidea: se lo studio della goniometria e della trigonometria ti risulta particolarmente complesso, potresti aver lasciato indietro qualcosa, in particolare qualche lacuna in geometria euclidea! Qui il consiglio che mi sento di darti è quello di recuperare il più velocemente possibile per rimetterti in carreggiata.
Infine, ultimo ma fondamentale consiglio: non imparare a memoria e cerca di comprendere veramente ciò che studi.
Per riuscire in questo scopo può aiutarti la Supermat Academy: il posto in cui potrai imparare la goniometria in modo chiaro, pratico e senza stressarti!
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Se sei interessato, in particolare, a secante e cosecante e alle altre funzioni goniometriche, troverai tutto ciò che ti serve sapere nel modulo 1 del corso di goniometria.
Bene Big Genius, con oggi abbiamo chiuso il cerchio sulle funzioni goniometriche, ma il viaggio non finisce qui: seguimi sui miei canali social di YouTube, Instagram, TikTok e Facebook per restare sempre aggiornato sull’universo di Supermat.
In bocca al lupo per il tuo studio e…ci vediamo nella Supermat Academy!