Trigonometria: i teoremi sui triangoli rettangoli

Ehilà Big Genius,

Direi che è ufficialmente iniziata la nostra avventura nel magico mondo della trigonometria, ovvero quella branca della matematica che studia le relazioni tra angoli e lati dei triangoli. 

Come forse già saprai, ma è bene ricordarlo: questa è ben diversa dalla goniometria che, invece, si occupa dello studio degli angoli e delle loro funzioni seno, coseno, tangente e cotangente. 

Ebbene, oggi entreremo nel vivo della trigonometria e vedremo due pilastri fondamentali di questa, ovvero i primi due teoremi di trigonometria sui triangoli rettangoli. 

Dal nome di questi teoremi fondamentali in trigonometria, puoi già capire che si applicano solo ai triangoli rettangoli, cioè a quelli che hanno due angoli acuti e un angolo retto di 90°.

Ti dice niente la parola “triangoli rettangoli”? Eh sì, sono proprio quelli del caro vecchio Teorema di Pitagora, do you remember? 

Ma ora direi che ci siamo dilungati abbastanza, basta spoiler: è tempo di scoprire insieme il primo e il secondo teorema trigonometrico sui triangoli rettangoli. 

Primo teorema di trigonometria sui triangoli rettangoli

Partiamo subito dell’enunciato di questo primo teorema: 

 “In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale al prodotto dell’ipotenusa per il seno dell’angolo opposto al cateto, o per il coseno dell’angolo acuto adiacente allo stesso cateto.” 

Da questo semplice enunciato, che è la diretta conseguenza della definizione delle funzioni seno e coseno ricavate a partire dalla circonferenza goniometrica, possiamo ottenere due informazioni chiave:

• Cateto = Ipotenusa ⋅ Seno dell’angolo opposto
• Cateto = Ipotenusa ⋅ Coseno dell’angolo acuto adiacente. 

Detto questo, è bene ricordarci subito come ci conviene strutturare un triangolo rettangolo. 

La disposizione degli angoli rispetto ai lati nell’immagine non è casuale, è una convenzione e, ti sembrerà una banalità, ma è la chiave per non andare in confusione quando le cose si complicano e ricordare molto meglio le formule: tienila bene a mente. 

Ora, se prendiamo in considerazione un triangolo rettangolo come quello sopra, con cateti a e b, ipotenusa c, e angoli α e β avremo che: 

Queste, dunque, sono le formule con le quali puoi calcolare i tuoi cateti. 

Nulla di complicato fin ora, dico bene?

Forse, però, è la dimostrazione di questo teorema che può sembrarti un po’ più antipatica e magari poco chiara. Ma niente paura, Supermat come sempre ti viene in soccorso per schiarirti le idee. 

Qui sotto trovi una videolezione semplice, rapida (e soprattutto indolore) sulla dimostrazione del primo teorema trigonometrico sui triangoli rettangoli. 

E già che ci siamo… sai dove trovi altre videolezioni, esercizi svolti e spiegazioni chiare sulla trigonometria? Nella Supermat Academy e, in particolare, nel Modulo 4 di Trigonometria! 

Bene, spero che fin qui sia tutto chiaro, direi che possiamo andare avanti. 

Secondo teorema trigonometrico sui triangoli rettangoli

Ed eccoci giunti all’altro protagonista del giorno, anche qui partiamo dall’enunciato, che nel secondo teorema trigonometrico sul triangolo rettangolo dice che: 

“In ogni triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale al prodotto dell’altro cateto per la tangente dell’angolo opposto, o per la cotangente dell’angolo acuto adiacente allo stesso cateto.” 

Anche in questo caso, da questo teorema che è la diretta conseguenza delle funzioni tangente e cotangente, possiamo ricavare informazioni molto preziose: 

• Cateto = cateto ⋅ tangente dell’angolo opposto
• Cateto = cateto ⋅ cotangente dell’angolo acuto adiacente 

Dunque, considerando lo stesso triangolo visto sopra avremo che: 

Anche in questo caso ho preparato una videolezione ad hoc per spiegarti la dimostrazione, in modo chiaro e semplice, come la precedente. La trovi qui in basso. 

Ovviamente a partire dalle formule che abbiamo visto nel primo e nel secondo teorema dei triangoli rettangoli puoi ricavarti anche le formule inverse che ti serviranno negli esercizi.

Bene Big Genius, come sempre, il nostro viaggio nel fantastico mondo della matematica non finisce qui. 

Se questo assaggio di trigonometria ti è piaciuto, allora adorerai ciò che ti aspetta nella Supermat Academy! All’interno della piattaforma troverai videolezioni, esercizi svolti passo passo e spiegazioni super chiare su tutti i temi della trigonometria e della goniometria. 

Ti accompagnerò alla scoperta completa di questi argomenti, con un percorso pensato per guidarti dal livello base fino alla padronanza completa delle funzioni goniometriche e dei teoremi fondamentali di trigonometria. 

Potrai scegliere di percorrerlo in modo completo, oppure selezionare solo il modulo che più fa al caso tuo. Anche se, dobbiamo sempre tener presente che per comprendere la trigonometria si deve partire da un’ottima comprensione della goniometria. 

Ricordi? La matematica è fatta di tanti piccoli mattoncini e la goniometria è proprio quello su cui si poggia la trigonometria. 

Quasi dimenticavo, a proposito dei teoremi di cui abbiamo parlato oggi… lo zio Supermat non poteva lasciarti andare senza un altro piccolo consiglio o “trucchetto” per la memoria. 

Con una semplice relazione di parole chiave puoi ricordare un pochino più facilmente i due teoremi (visto che poi i concetti sono davvero molto simili) ed evitare di fare confusione 

1° Teorema → cateto-ipotenusa-seno o coseno

2° Teorema → cateto-cateto-tangente o cotangente

…Lo avevi già notato??

Direi che per oggi ci siamo detti tutto caro Big Genius, ti aspetto all’Academy e, come sempre…non mollare mai!

A prestissimo!