Valori degli angoli notevoli in goniometria: come si calcolano?

Ehilà Big Genius! 

Hai mai sentito parlare di angoli notevoli, noti o “particolari” in goniometria? Se sei arrivato qui, la risposta è probabilmente sì.

Magari li conosci anche come “valori noti trigonometrici” anche se, a dire il vero, questa definizione è un tantino inesatta, dato che goniometria e trigonometria non sono la stessa cosa. A questo proposito, ti invito a leggere il mio approfondimento sulle differenze tra goniometria e trigonometria, giusto per chiarirti le idee.

È normale fare un po’ di confusione quando si tratta di matematica, ma oggi cercheremo di capirci qualcosina in più. Vediamo allora cosa sono gli angoli notevoli, da dove vengono e perché li “impariamo a memoria” invece di calcolarli con la calcolatrice. 

Inoltre, ti svelerò anche alcuni trucchetti per ricordarli senza dover fare i salti mortali. Pronto a scoprire tutto sugli angoli notevoli in goniometria? 

Allora partiamo!

Cosa sono gli angoli notevoli e perché sono utili?

Gli angoli notevoli, dopo le funzioni goniometriche, sono uno dei primi argomenti che si studia in goniometria. 

Questi, infatti, si studiano proprio per consentirci di ricavare velocemente i valori delle principali funzioni goniometriche (come seno, coseno e tangente, cotangente, ecc). 

Ma perché sono così importanti? 

Semplice, perché questi angoli non sono scelti a caso: derivano da figure geometriche molto comuni e ci permettono di comprendere il valore delle funzioni goniometriche sulla circonferenza goniometrica quando si trovano in quelle particolari posizioni. 

Dunque, i valori delle funzioni goniometriche agli angoli notevoli possono essere facilmente ricavati mediante le definizioni di seno e coseno (da cui poi possiamo ricavare i valori di tutte le altre funzioni goniometriche), tramite semplici dimostrazioni geometriche.

Per aiutarti a capire meglio a cosa mi riferisco, ti consiglio di dare uno sguardo al video che ti lascio qui sotto: 

Da dove derivano gli angoli notevoli?

Cominciamo con il dire che gli angoli notevoli in goniometria possono essere divisi in due blocchi, che ti segnalo nella tabella qui sotto in colori differenti: 

Angolo (gradi)	Angolo (radianti)	Seno	Coseno	Tangente	Cotangente
0°	0	0	1	0	–
30°	π/6	1/2	√3/2	√3/3	√3
45°	π/4	√2/2	√2/2	1	1
60°	π/3	√3/2	1/2	√3	√3/3
90°	π/2	1	0	–	0
180°	π	0	-1	0	–
270°	3/2π	-1	0	–	0
360°	2π	0	1	0	–

Gli angoli che si trovano ai punti cardinali della circonferenza goniometrica, che sono quelli che corrispondono a 0°; 90°;180°;270° e 360° e sono i più semplici da calcolare. Gli angoli che possono essere ricavati geometricamente, invece, corrispondono a 30°, 45° e 60°, evidenziati in rosso. 

Se osservi bene questi ultimi, noterai che i valori di seno e coseno non sono affatto casuali, ma si basano su semplici costruzioni geometriche.

I valori degli angoli di 30° e 60° si possono calcolare facilmente sfruttando la geometria di un triangolo equilatero diviso a metà. Infatti, se tracci un’altezza da un vertice alla base, il triangolo equilatero si divide in due triangoli rettangoli. 

In ciascuno di questi, uno degli angoli è di 30° e l’altro di 60°, e così possiamo determinare i valori delle funzioni seno e coseno per entrambi gli angoli.

Per l’angolo di 45°, invece, basta dividere un quadrato lungo la sua diagonale, ottenendo due triangoli rettangoli isosceli. In questi triangoli, ogni angolo acuto è di 45°, il che rende semplice, anche in questo caso, calcolare i valori di seno e coseno.

Una volta appresi bene questi angoli fondamentali, potrai pian piano aggiungere altri angoli particolari, come 15°, 75°, 18° e 36°. Questi angoli li troverai spesso nella tabella degli angoli noti, sui tuoi libri di testo e online, espressi in gradi, in radianti (la misura ufficiale nel Sistema Internazionale di unità di misura) o entrambi. 

Come imparare i valori degli angoli notevoli goniometrici 

Abbiamo visto quanto sia importante imparare i valori degli angoli notevoli in goniometria. Conoscerli, infatti, ti permette di svolgere le espressioni goniometriche rapidamente, senza bisogno di ricorrere continuamente alla calcolatrice. 

Ma come fare per impararli? 

Voglio darti un consiglio importante: non limitarti a memorizzare i valori degli angoli notevoli. Cerca piuttosto di comprenderne la vera essenza geometrica, osservando da dove derivano questi valori. 

Tradotto questo significa che non è necessario ripeterli a memoria per ore! 

Piuttosto, prova a cogliere il significato che li lega alle figure geometriche, e scoprirai come ogni valore abbia una logica precisa e una simmetria che ti guiderà nel calcolo e nella comprensione. 

Per esempio, potresti notare che i valori di seno e coseno per 30° e 60° si “scambiano” tra loro. Oppure che seno e coseno per 45° sono identici. Sono relazioni semplici, ma nascondono una simmetria geometrica che ti aiuterà a ricordarli e sfruttarli nel momento del bisogno.

E se ciò non bastasse, puoi allenare il tuo pensiero con la Supermat Academy di Supermat! Per imparare a calcolare i valori con cognizione di causa e scoprire tutto quello che c’è da sapere su angoli notevoli e non solo, il PER–corso di Goniometria e Trigonometria della Supermat Academy è la soluzione che stai cercando. 

In particolare, il modulo “Funzioni Goniometriche” è il giusto punto di partenza se vuoi comprendere e approfondire questo tipo di argomenti (e correlati), perché ti guiderà alla scoperta dei segreti di seno, coseno, tangente e molto altro ancora, con videolezioni accurate, tantissimi esercizi commentati e spiegazioni chiare che potrai vedere e rivedere quando vuoi e tutte le volte che vuoi!

E se proprio qualcosa non ti scende giù, Supermat e la community di Big Genius sono pronti ad aiutarti!

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