Esercizi sui triangoli rettangoli e qualsiasi (trigonometria) svolti e commentati

Ehilà Big Genius!

Ben ritrovato nel tuo spazio di studio targato Supermat! Se sei qui, è perché vuoi padroneggiare meglio i teoremi di trigonometria. 

Bene, ottima idea!

Precedentemente abbiamo già trattato dei teoremi sui triangoli rettangoli in trigonometria e del teorema dell’area di un triangolo qualsiasi. Due argomenti davvero importanti in trigonometria di cui ti parlo molto in dettaglio anche nel Modulo 4 del Corso di Goniometria e Trigonometria della Supermat Academy. 

Oggi però è tempo di mettere tutto in pratica con esercizi svolti, spiegati e commentati, proprio come piace a noi! Pronto? 

Cominciamo!

Esercizi triangoli rettangoli trigonometria

Mi raccomando, prima di cominciare con questi esercizi vai a rivedere (oltre ai i teoremi dei triangoli rettangoli e dell’area di un triangolo) le identità goniometriche fondamentali, gli angoli complementari e supplementari, le formule degli archi associati e, perché no, i segni di seno, coseno e tangente nei quattro quadranti. 

Bene, partiamo con un esercizio semplice: 

In un parallelogramma un angolo misura 75° (chiamiamolo α), un lato (b) misura 15 e l’area (A) è 15√3. Calcola la misura dell’altro lato (l). 

Prima di tutto, ricordiamoci la formula dell’area in un parallelogramma che è uguale a base per altezza. 

A noi, però, serve conoscere l’altezza (h) e possiamo ricavarla con la formula inversa: l’altezza è uguale ad area diviso base.

A questo punto, immaginiamo il triangolo rettangolo formato dall’altezza, dall’altro lato obliquo del parallelogramma e dall’angolo di 75°. Utilizzando la formula inversa del primo teorema dei triangoli rettangoli otteniamo: 

Ora non ti resta che calcolare il seno di 75°, che è uno degli angoli noti, svolgere la razionalizzazione e il gioco è fatto. Se qualcosa non ti è chiaro, non preoccuparti, ti ho inserito appositamente un video più in basso proprio sugli esercizi di oggi. 

Passiamo al secondo esercizio, un pochino più impegnativo: 

In un triangolo rettangolo, sono dati i seguenti elementi:

• Gli angoli acuti α e β sono compresi tra 0 e π/2
• cos⁡(α)=12/13

Dobbiamo trovare:

• tan(β)
• cos⁡(γ) dove γ è l’angolo retto
• sin⁡(π+γ)

Cominciamo con il calcolare la tangente dell’angolo beta, dato che ci troviamo in un triangolo rettangolo, sapendo che alfa + beta fa π/2 abbiamo che la tangente dell’angolo beta sarà uguale alla tangente di π/2 – α.

Ebbene si, siamo dinanzi agli archi associati. Dunque, dobbiamo fare un cambio funzione, ovvero dobbiamo passare alla cotangente e calcolare la cotangente dell’angolo α.

Il coseno di alfa lo abbiamo, serve, però, calcolare il seno che, sfruttando la relazione inversa della prima relazione fondamentale della goniometria, è uguale a: 

Ora possiamo calcolare la tangente di beta: 

Ora passiamo al coseno di γ, sapendo che questo è il supplementare di beta perché ci troviamo sempre ad avere a che fare con un triangolo rettangolo: 

Ma β = π/2 − α, quindi:

Questo perché abbiamo già calcolato il seno di alfa e dobbiamo semplicemente cambiargli segno considerando sempre gli archi associati.

Passiamo ora al seno di gamma, dato che: 

Abbiamo: 

Il seno di gamma possiamo scriverlo anche come: 

Eccoci di nuovo di fronte agli archi associati e infine abbiamo: 

Quindi: 

Bene Big Genius, spero che sia tutto chiaro. Se hai voglia di fare questi due esercizi insieme, ti consiglio di guardare il video qui in basso.

Passiamo ora ai problemi con i triangoli qualunque. 

Esercizi triangoli qualsiasi trigonometria

Ecco il primo esercizio: 

Due corde consecutive di una circonferenza di raggio R sono tali che AB =R/2 e BC= 3/2 R e l’angolo beta è ottuso, compreso tra 2/π e π. 

Calcola l’area del triangolo ABC. 

Qui non possiamo usare base × altezza per calcolare l’area, perché non abbiamo l’altezza e sarebbe troppo lungo e oneroso procedere in questa direzione. Ma anche perché abbiamo i teoremi di trigonometria che ci vengono in soccorso. 

Conosciamo, infatti:

• due lati: AB e BC
• l’angolo compreso: β

Allora usiamo la formula dell’area per triangoli qualsiasi:

Sostituiamo con i valori noti di AB e BC: 

Moltiplichiamo le frazioni:

E infine otteniamo: 

Ora dobbiamo trovare il seno di beta e quindi…eccoci qui con il teorema della corda. 

Da qui in poi il discorso si fa un po’ più impegnativo ecco perché ho deciso di completare l’esercizio insieme nel video qui in basso: 

Bene Big Genius, se questa lezione ti è piaciuta, allora sono certo che il Corso di Goniometria e Trigonometria della Supermat Academy ti piacerà ancora di più!

In questo corso troverai videolezioni spiegate con calma, in cui ripassiamo insieme tutti i concetti fondamentali: seno, coseno, tangente, angoli acuti, ottusi, formule degli archi associati… tutto quello che ti serve per diventare sicuro e veloce in goniometria e trigonometria. 

Ovviamente non mancheranno esercizi guidati come quelli che abbiamo fatto oggi, da svolgere passo passo insieme, che ti permetteranno di imparare non solo il “cosa fare”, ma anche il “perché”.

E poi appunti già pronti, scritti in modo chiaro e semplificato, perfetti per ripassare senza impazzire e fissare bene in mente i concetti chiave.

Insomma, un vero e proprio per-CORSO da fare insieme al tuo supereroe scientifico preferito, che ti accompagnerà passo dopo passo senza lasciarti mai solo!

Per oggi è tutto caro Big Genius, ci vediamo in Academy e…come sempre…Non mollare!

A prestissimo!